वैदिक गणित

सम्प्रति यत्र यत्र वैदिकगणितस्य अध्ययनं क्रियते, मुख्यतया पुस्तकाधारितम् अस्ति, जो शंकराचार्य स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ जी महाराज द्वारा रचित है।सः १९५७ तमे वर्षे एतत् पुस्तकं लिखितवान् अस्मिन् पुस्तके १६ सूत्राणां १३ उपसूत्राणां च चर्चा कृता अस्ति। स्वामीजीनुसारेण इदम् 'अथर्ववेदेन' तृतीय परिशिष्टात् गृहीतम्।पारम्परिकगणितस्य विपरीतम् अयं गणितः वेदात् निष्पन्नः अस्ति तथा च 'वैदिकगणितम्' इति नाम धारयति ।
वैदिक गणित की विशेषताएँ- १.

• गणना सुलभम्।
• गणनानां समये समयस्य रक्षणं कुर्वन्तु।
• वैदिकगणिते भवन्तः तस्य अपि प्रत्यक्षं उत्तरं न्यूनतया त्रुटिसंभावनायाः सह प्राप्नुवन्ति।
• भवन्तः स्वस्य उत्तरं सहजतया पश्यितुं शक्नुवन्ति। प्रश्नस्य उत्तरं डिजिटल योग पद्धतिं उपयुज्य परीक्षितुं शक्यते।
• पारम्परिकगणिते वयं दक्षिणतः वामतः उत्तरं प्राप्नुमः (विभागे, वामतः दक्षिणतः विभागे) यदा तु वैदिकगणितस्य उपयोगेन वयं उभयतः अस्माकं उत्तरं प्राप्तुं शक्नुमः।
• समग्रस्य सम्पूर्णं गणितं केवलं १६ सूत्रेषु (तथा १३ सूत्रेषु) आधारितम् अस्ति।एते १६ सूत्राणि स्मर्तुं सुलभाः सन्ति तथा च उपयोगाय अपि सुलभाः सन्ति।
• केवलं 9 पर्यन्तं सारणी स्मरणस्य आवश्यकता अस्ति।
• अधिकांशं मानसिककार्यं कर्तुं आवश्यकता वर्तते तथा च अभ्यासेन कागदस्य, कलमस्य आवश्यकता अपि न्यूनतमं भवति।
•  वैदिकगणितस्य प्रयोगेण तर्कशक्तिः वर्धते।

गणितपठने आत्मविश्वासः वर्धते गणितं च रोचकं भवति।
1. भारती कृष्ण तीर्थ जी महाराज (1884-1960) गोवर्धन मठ पुरी के शंकराचार्य थे।उन्हें विभिन्न भाषाओं एवं विषयों का ज्ञान था। सः गणितं संस्कृतं च सुविज्ञः आसीत् ।वेदाध्ययनानन्तरं सः वैदिकगणितस्य १६ सूत्राणि आविष्कृतवान् । (अधिकं ज्ञातुं पूर्वं पोस्ट् पठन्तु)
2. वैदिकगणितस्य १६ सूत्राणि सन्ति-

1. एकाधिकेन पूर्वेण 
2. निखिलम् नवतश्चर्मं दशतः
3. उर्ध्वतिर्यग्भ्याम्
4. परावर्त्य योजयेत्
5. शून्यं साम्य-समुच्चये
6. आनुरुप्ये शून्यं अन्यत्
7. संकलन व्यवकलनाभ्यां
8. पूरणापूर्णाभ्याम्
9. चलनकलनाभ्याम्
10. यावदूनम्
11. व्यष्टि-समष्टिः
12. शेषाण्यङ्केन चरमेण
13. सोपान्त्यद्वयमन्त्यं
14. एक न्युनेन पुर्वेण
15. गुणितसमुच्चयः
16. गुणकसमुच्चयः

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    तत्र १३ उपसूत्राणि- १.

1. आनुरुप्येण
2. शिष्यते शेषसंज्ञः
3. आद्यमाद्येनान्त्यमन्त्येन
4. केवलैः सप्तकं गुण्यात्
5. वेष्टनम्
6. यावदूनं तावदुनं
7. यावदूनं तावदूनीकृत्य वर्गं च योजयेत्
8. अन्त्ययोर्दशकेऽपि
9. अन्त्ययोरेव
10. समुच्चयगुणितः
11. लोपनस्थापनाभ्यां
12. विलोकनं
13. गुणितसमुच्चयः समुच्चयगुणितः

(एतेषां स्रोतानां विषये अग्रिमे पोस्ट् मध्ये चर्चा भविष्यति...)
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अथर्ववेदस्य सम्प्रति उपलभ्यमानस्य प्रतिलिपिः, यस्मिन् एतानि सूत्राणि लिखितानि सन्ति, तत्र तादृशः पारिषिकः नास्ति अपि च वैदिकयुगे तादृशः प्रत्ययः नास्ति, तथा च गणितबीजगणितादिविषयाणां दशमलवतन्त्रादीनां च संकेताः सन्ति। एतेषां कारणानां कारणात् एतत् तथ्यं विवादास्पदं जातम् अस्ति ।परन्तु अस्माकं समीपे उपलब्धा अथर्ववेदस्य प्रतिलिपिः मौलिकः / पूर्णः / अविकृतः इति वक्तुं न शक्यते।(आम् किन्तु अत्र प्रश्नः अपि अस्ति यत् स्वामीजीयाः अथर्ववेदस्य अन्यः प्रतिलिपिः आसीत् वा या नष्टा अभवत्?)गोवर्धन मठ के एक शंकराचार्य के कथन के अनुसार पुरी-- शिष्यते शेषसंज्ञाः (13 उपसूत्रों में से एक) श्रीमद्भागवत के 10वें स्कन्ध > अध्याय 3 > श्लोक 25 के आरोहण श्लोक में लिखा है।
उनके अनुसार स्वामीजी ने अपने ज्ञान एवं प्रज्ञा से इन 16 सूत्रों को अपने वचनों से, वेदों के श्लोकों से (विशेषतः अथर्ववेदों से) साथ ही अन्य धर्मग्रन्थों से भी बनाये होंगे।तादृशाः अधिकानि पदानि/पदार्थानि वेदेषु प्राप्तानि सन्ति।

• नाम - वेंकटरमण शास्त्री (पूर्व का नाम )
• जन्म:-14 मार्च 1884,तिरुनेलवेली ,तमिलनाडु ,भारत 
• पिता -पी. नृसिंह शास्त्री ,पहले तहसीलदार थे और  बाद में डिप्टी कलेक्टर,तत्कालीन मद्रास प्रिसेंडेन्सी। 
• परिवार -तमिल ब्राह्मण परिवार। 

शिक्षा - 1899 में मद्रास विश्वविद्यालय से माध्यमिक परीक्षा प्रथम श्रेणी से उत्तीर्ण, अनेक विषयों के अध्ययन में रुचि रखते हुए साथ ही विभिन्न भाषाओं को भी जानते थे। संस्कृतं तस्मिन्
विषये यथा रोचते तथा निपुणः आसीत्, अतः एव तस्मै मद्राससंस्कृतसङ्घेन १८९९ तमे वर्षे जुलैमासे 'सरस्वती' इति उपाधिः दत्ता ।१९०२ तमे वर्षे स्नातकोत्तर (B.A.) तथा १९०३- 04. M.A.) किया, सप्त [षट्] (गणित, विज्ञान, दर्शन, इतिहास, संस्कृत, आङ्ग्ल) विषयों से।

सामाजिक जीवन - वेंकटरमण बड़ौदा महाविद्यालय में विज्ञान एवं गणित के अध्यापक थे। महर्षि अरविन्दः तस्य सहकर्मी आसीत्, येन सह सः स्वदेशी-आन्दोलनस्य समर्थनार्थं कलकत्ता-नगरं गतः, सभाम् अकरोत्, भाषणानि च अकरोत् । १९०५ में गोपाल कृष्ण गोखले (तत्कालीन अध्यक्ष भारतीय राष्ट्रीय काँग्रेस) के साथ शिक्षा सम्बन्धी आन्दोलनों में भी भाग लिया।

आध्यात्मिक जीवन -1908 शंकराचार्य आध्यात्मिक ज्ञान प्राप्त करने के लिए श्री सच्चिदानन्द शिवाभिनव नृसिंह सरस्वती जी के पास शृंगेरी मठ मैसूर गए। परन्तु वेङ्कटरमणः पुनः राष्ट्रिय-आन्दोलनेषु उलझितः अभवत् । 1911 में पुन: पुनरागमन के बाद वे वेद, वेदान्त एवं धार्मिक ग्रंथों को पढ़कर योग अभ्यास किया। प्रायः ८ वर्ष तपस्यानन्तरं तेन अथर्ववेदस्य एकस्य पार्षदस्य १६ सूत्राणि आविष्कृतानि, ये वैदिकगणितस्य आधारभूतानि सन्ति, एतेषु १६ सूत्रेषु प्रत्येकं ग्रन्थं लिखितवान् ।

संन्यास - शारदा पीठ स्वामी त्रिविक्रम तीर्थ के शंकराचार्य ने वेंकटरमण को संन्यास आश्रम में प्रवेश करवाया (1919 में)। तथा च ततः परं वेङ्कटरमणस्य नाम भारतीकृष्णतीर्थम् अभवत्।वर्षद्वयानन्तरं १९२१ तमे वर्षे शङ्कराचार्यः कृतः। 1925 में कुछ समय के बाद गोवर्धन मठ पुरी के शंकराचार्य स्वामी मधुसूदन तीर्थ ने भारती कृष्ण तीर्थ को गोवर्धन मठ का मठाधीश बनाया।
गोवर्धन मठ में रहते हुए तीर्थजी ने कई जन कल्याणकारी कार्य किया। धार्मिककार्यार्थं बहुषु देशेषु विदेशेषु च भ्रमणं कृतवान् ।देशस्य अनेकेषु विश्वविद्यालयेषु अपि व्याख्यानं दत्तवान् ।
१९५० तमे वर्षे स्वामीजीविरचितानि १६ पुस्तकानि नष्टानि इति पुष्टिः अभवत् ।एतत् विषये यदा तीर्थजीस्वामी ज्ञातवान् तदा पुनः वैदिकगणितस्य सूत्राणि लिखितुं आरब्धवान् ।स्वास्थ्यम् उत्तमं नासीत् तथा च तस्य दृष्टिः अपि उत्तमं नासीत्, एतेषां कारणानां कारणात् सः स्मृतेः आधारेण केवलमेकं पुस्तकं लिखितवान् ।इदं एकं पुस्तकं १९५७ तमे वर्षे सम्पन्नवान् ।(यत् प्रथमवारं १९६५ तमे वर्षे प्रकाशितम्)

स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ जी का निधन 2 फरवरी 1960 को हुआ।


वैदिक गणित के 16 सूत्रों को शंकराचार्य स्वामी भारती कृष्ण तीर्थजी महाराज के कृति के बिखरे सन्दर्भों से अलग किया गया है। यस्मिन् ग्रन्थे वैदिकगणितस्य पाठ्यते, तदनुसारेणैव वेदगणितस्य १६ सूत्राणि, १३ उपसूत्राणि च अत्रैव नामानि, अर्थानि, तेषां प्रयोगस्थानानि च दत्तानि सन्ति ।



1.बहुकेन पूर्वेण
   
 अर्थ : पूर्वापेक्षया एकाधिकम्
 उपयोग: आवर्ती दशमलव भिन्न[पुनरावर्ती दशमलव भिन्न],वर्गों का पता लगाना,अंशात्मक भिन्नों द्वारा एकीकरण[आंशिक भिन्नों का उपयोग करके एकीकरण]।
 उदाहरणम् :-- वर्गस्य अन्वेषणार्थम्--(अत्र वयं केवलं ५ इत्यनेन समाप्ताः सङ्ख्याः एव वदामः)--


२५ का वर्ग: अत्र पूर्वाङ्कः (संख्या) २ .------> २ ३ गुणकः ।


अधुना अन्तिमः समाधानः 2x3\25------->वर्गस्य द्वितीयः भागः सर्वदा 25 भविष्यति ।
एवं २५ = ६२५ का वर्ग।
35=3x4\25=1225 का वर्ग, .
175=17x18\25=30625 का वर्ग, .
995=99x100\25=990025.आदि का वर्ग।


2.निखिलं नवः चरम दसः

 अर्थ : सभी 9 में से, 10 में से अंतिम
 उपयोगः - संख्यानां गुणनं विभाजनं च, आलेखान् अन्वेष्टुं।
 उदाहरण :-- आधार(10,100,1000,10000,...) का प्रयोग करके गुणा करना-- 9998x6543=

  9998 -0002 -----> आधार 10000-9998*
  ६५४३ -३४५७------> आधार १००००-६५४३**
, ९.
  ६५४१ \ ६९१४ ------>६५४१=९९९८-३४५७ वा ६५४३-२;६९१४=-२ x -३४५७
, ९.
 अतः यह 9998x6543=65416914 होगा।

सूत्रं कुत्र प्रयुक्तम् ?--->10000-6543=. अत्र सर्वे अङ्काः ९ तः घटिताः भविष्यन्ति तथा च अन्तिमः/अत्यन्तः अङ्कः १० तः हृतः भविष्यति । एतत् सूत्रं प्रयुज्य वयं तत् हृत्वा साक्षात् मनसि लिखिष्यामः ।
*९९९८,१००००० २ इत्यस्मात् न्यूनम् अस्ति अतः -२ इति लिखितम् अस्ति ।
** इसी प्रकार ३४५७ ६५४३,१००००० से कम है अतः -३४५७ लिखा गया।
# यदि *,** न्यूनाधिकं स्यात् तर्हि ऋणात्मकचिह्नं न लिखितं स्यात्।

3.ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यम् [लम्ब एवं क्रॉसवाइज]:

 अर्थ : सीधा/ऊर्ध्वाधर एवं तिरछा/तिरछा
 प्रयोगः- वर्गमूलं ज्ञातुं संख्यानां गुणनं, बीजगणितीय [बीजगणितीय] गुणनं, तथैव तेषां विभाजनम्।
 उदाहरण :-- सामान्य गुणन-- 124x235=

  २.१=२ इति; २.२+३.१=७ इति; २.४+३.२+५.१=१९ इति ; ३.४+५.२=२२ इति; ५.४=२० इति

वामतः दक्षिणत: ---------------------------------------- .


दक्षिणतः वामतः ----------------------------------------- .
अत्र २;७;१९;२२;२० इति द्विधा लिखितम् - १.
वामतः दक्षिणं प्रति उत्तरं प्राप्तुं वामतः दक्षिणं प्रति ध्वजं उत्थाप्य दक्षिणे योजयन्तु* तथा च दक्षिणतः वामतः समीचीनविपरीतं कर्तव्यम् ।

* यदि द्वौ अङ्कौ आगच्छन्ति तर्हि प्रथमे दशमङ्कः योजितः भविष्यति।

अस्य कारणात् वामतः दक्षिणतः यावत् अधिकांशजनानां कृते सुलभतरं दृश्यते ।

उभयतः उत्पादः समानः भविष्यति। १२४x२३५=२९१४० ।



4.प्रतिबिम्बक योजक [transpose and apply]: .

 अर्थ : अनुवाद एवं अनुप्रयोग
 प्रयोगः- विभागाय, जटिलसमीकरणानां समाधाने।
 उदाहरण : --भाग--13799/113 जहाँ हर आधार 10,100 के ऊपर, निकट...
  


अत्र Q=122 तथा R=13, अस्य विषये पश्चात् विस्तरेण वदामः ।



5. शून्य संतुलन

 भावार्थः- यदा समुच्चयः समः भवति तदा तस्य समुच्चयस्य मूल्यं शून्यं भवति।
 सामान्यसमीकरणानां सुलभतया समाधानार्थं एतत् सूत्रं उत्तमम् अस्ति ।


अत्र समुच्चयस्य ६ अर्थाः उद्भवन्ति।यत् अग्रे कथयिष्यते।

प्रयोग : सरल समीकरणों के समाधान में।

उदाहरण : --समूह के प्रथम अर्थ (सामान्य गुणनखण्ड) का प्रयोग--
 समानं 9(x+1)=5(x+1) समाधानार्थं वयं प्रत्यक्षतया x+1=0 लिखिष्यामः । => x= -1 इति
*९ तथा ५ इत्यस्य समाधानस्य उपरि कोऽपि प्रभावः नास्ति, अतः एव ९ इत्यनेन ५ इत्यनेन च गुणयित्वा ततः योगहरणं कृत्वा समाधानं प्राप्तुं न उपयुक्तम्।

6.(आनुरूप्ये) शून्यंमन्यत्

 अर्थ : प्रयोग में इसका अर्थ है - यदि एक अनुपात में है तो अन्य शून्य है।

 प्रयोग : एक विशिष्ट प्रकार के युगपत् [युगपत्] सरल समीकरण के समाधान में।
 उदाहरण:
                ५x+६य=३
                १०x+१८य=६
 अत्र x इत्यस्य नित्यपदानां च गुणांकानां अनुपातः समानः ।
५ - १०; ३ - ६ । अतः सूत्र से द्वितीय अर्थात् y शून्य होगा।
एवं प्रकारेण x=3/5 भविष्यति।

7.संकलनम्

भावार्थ : योग एवं घटाने से
प्रयोग : एक साथ समीकरणों के समाधान में जिसमें x-गुणांक एवं y-गुणांक का आदान-प्रदान होते हैं।

उदाहरण:
             ५x-३य=११
             ३x-५य=५
योग (जोड़े)-- 8x-8y=16 => 8(x-y)=16 =>x-y=2
घटाव (घटना)-- 2x+2y=6 =>2(x+y)=6 =>x+y=3

अतः x=5/2,y=1/2।

8. पूर्णपूर्णाभ्यम्

भावार्थ : पूर्ण या अपूर्ण (बिना पूर्णता) बनाना।

प्रयोग : वर्ग, घन, द्विघात आदि पूर्ण करने के साथ या बिना समीकरणों का समाधान करने में।
* पारम्परिक गणित में (वर्ग पूर्ण करके समाधान) का प्रयोग पहले ही हो रहा है।

उदाहरण : द्विघात पूर्ण करके समाधान करना--
x^2 +2x-8 = 0 =>x^2 +2.1.x+ 1^2 -8 -1^2 =0
                           =>x^2 +2x+1 -9=0
                           =>x^2 +2x+1 = 9
                           =>(x+1)^2=9 =>x+1 =3 या -3
एवं x = 2 या -4।



9.चालनकनाभ्याम्

भावार्थः- गणितस्य कर्मभिः
प्रयोग : द्विघात समीकरणों के समाधान में। अन्येषु अपि स्थानेषु ।
उदाहरण : x2 + 5x + 4 = 0
 इसके विवेकशील D=5^2 - 4.1.4=25-16=9
  x2 + 5x + 4 का प्रथम अवकल=2x+5 होगा
इस सूत्र के अनुसार 2x+5=(D का वर्गमूल) =>2x+5=+3 या 2x+5=-3
अतः x=-1 या -4।



10.यवदूनम्

भावार्थः- यातना व्यभिचार (कम/अतिरिक्त) कम है/होता है।
उपयोगः- सङ्ख्यायाः घनम् अन्वेष्टुं ।
उदाहरण : 103 का घन----अत्र (आधार 100 से) व्यभिचार +3 है।
घन को खोजने के तीन चरण हैं 1).व्यभिचार के द्विगुण विभाजित करें--- 103+6=109 2).विचलन को व्यभिचार से त्रिगुणित करें--- 3x9=27 3).व्यभिचार के घन =३^३=२७
एवं १०३ का घन है:-१०३^३ =१०९\२७\२७=१०९२७२७।

11.सूक्ष्मजनसंख्याः .
अर्थ : इसका व्यावहारिक अर्थ हो सकता है-- जनसंख्या (समूह) से व्यक्ति (एक) में बदलना।
उपयोगः द्विघातसमीकरणानां गुणनखण्डे -- यस्य LHS मध्ये द्वयोः द्विपदयोः चतुर्भुजयोः योगः भवति तथा च RHS मध्ये नियतसङ्ख्या भवति -- गुणनखण्डीकरणार्थम्।
उदाहरण : (x+7)^4 +(x+5)^4 =706
 --द्वयोः द्विपदयोः औसतं, x+6 y इति गृहीत्वा ।
ततः, (य+१)^४ +(य-१)^४ =७०६
 =>२य^४ +१२य^२+२ -- [य^३ तथा य काटना]।
 =>य^४ +६य^२ -३५२ = ०
 =>य^२ =१६ वा -२२
एवं च यस्य मूल्यं लभ्यते।

*एतत् सूत्रं कदाचित् तादृशप्रश्नेषु अपि न प्रयोज्यम्।

12.सेशान्यकेन अत्यन्त
अर्थ : अन्तिम अंक द्वारा रहता है।
उपयोगः विशेषविभाजन/दशमलव भिन्नों के क्रियाओं में।
उदाहरण : 1/7=
 7 को 1 से विभाजित करने में भागफल में दशमलव लिखना अब प्रथम लाभांश 10---शेष=3 है
2.प्रश्न=4;आर=2 3.प्रश्न=2;आर=6 4.प्रश्न=8;आर=4 5.प्रश्न=5;आर=5

अत्र शेषः :१ (प्रथमः), ३ (प्रथमभागात्), २, ६, ४, ५ --- तदनन्तरं पुनः स एव क्रमः आरभ्यते ।
उत्तरं प्राप्तुं वयं एतान् शेषान् ७ गुणयित्वा गुणनफलस्य अन्तिमाङ्कं लिखिष्यामः-

३x७=२१ ---- १ ----३ इति २ अवशेषः------ प्रथमशेषः अन्तिमः गुणितः भविष्यति ।
२x७=१४ ---- ४
६x७=४२ ---- २
४x७=२८ ---- ८
५x७=३५ ---- ५
१x७=७ ---- ७ ----------- अत्र १ प्रथमावशेषः ।

एवं १/७=०.१४२८५७

13.सोपन्त्यद्वैमन्त्यम्
अर्थ : अन्तिम एवं अन्तिम का दोगुना
प्रयोगः 1/A.B +1/A.C = 1/A.D +1/B.C.(A,B,C,D A.P. में हैं) प्रकार के समीकरणों का समाधान करने में।
उदाहरण:

A=(x+2),B=(x+3),C=(x+4),D=(x+5) ---अत्र अन्तिमः (x+5) अन्तिमः च (x+4) अस्ति
 अतः (x+5) + 2(x+4)=0 => x = -13/3।

14.एकन्यूनेन पूर्वेण

भावार्थः- पूर्वापेक्षया एकेन न्यूनेन।
उपयोगः- येषां संख्यानां गुणनेषु सर्वे अङ्काः सन्ति 9 तेषां गुणनार्थं प्रयुक्तम् ।
उदाहरण : 783x999 =
 अत्र पूर्वम् ९ एकम् न श्रद्धेयम्, द्वितीयं सर्वदा पूर्वम् एव मन्तव्यम् ।
अथ पूर्वस्य कनिष्ठम् - ७८३-१=७८२
 अतः उत्पाद होगा--- 782\(999-782) =782217.

15.गुणितसमुच्चयः

 अस्मिन् सूत्रे परसूत्रे च समुच्चयस्य भिन्नार्थाः सन्ति तथा च परसूत्रे गुणकेन वा गुणकेन वा सह भवति सूत्रस्य व्यावहारिकं अर्थं द्रक्ष्यामः।

अर्थ : गुणनखण्डों के गुणांकों के योग का गुणनफल गुणनफलों के गुणांकों के योग के बराबर होता है(S' of the product=गुणकों के S' का उत्पाद; जहाँ S' सह-दक्षताओं के योग के लिए खड़ा है) .
जैसे- 3x^2+5x+2=(x+1)(3x+2)
गुणनखण्डों के गुणांकों के योग का गुणनफल=(1+1)(3+2)=10
गुणनफल(3x^2+5x+2)=3+5+2=10 के गुणांकों का योग।

प्रयोग : कारक एवं गुणांकों के बीच सम्बन्ध स्थापित करके गुणनखण्डीकरण करने में।
उदाहरण : गुणनखण्ड x^3 +6x^2 +11x+6----

वयं जानीमः यत् (x+1) तस्य कारकः अस्ति। (x+1)(x^2 +......+6) 'अद्यम् अद्येन्' का प्रयोग करके; अधुना सूत्रस्य उपयोगेन
(1+1)(1+......+6)=(1+6+11+6) अर्थात् रिक्त स्थान में 5 होना चाहिए।

इस प्रकार हम (x+1)(x^2 +5x +6)=(x+1)(x+2)(x+3) प्राप्त करते हैं।

16. गुणक समुच्चयः
भावार्थ : यदि किसी द्विघात अभिव्यक्ति दो द्विपद (x+a) और (x+b) का गुणनफल है, तो उसका प्रथम अवकल दो गुणनखण्ड आदि आदि का योग होता है*।(यदि एवं जब किसी द्विघात अभिव्यक्ति का गुणनफल हो द्विपद ( x+a) तथा (x+b), इसका प्रथम अवकल उक्त दोनों गुणनखण्डों का योग है इत्यादि।)


एतत् (x+6)(x-5) इति लिखितुं शक्यते । अस्य द्विघातसमीकरणस्य प्रथमः अवकलः D1 चेत्, तर्हि,
 D1= गुणनखण्डों का योग => 2x+1= (x+6) + (x-5)।
* वयं गणितसूत्रेण अपि एतत् कार्यं कृतवन्तः, परन्तु एतेन सूत्रेण अधिकशक्तिव्यञ्जनानां एकादशाधिकगणना D2, D3 इत्यादिभिः सह अपि कार्यं क्रियते।

प्रयोगः- कारकीकरणं विभेदकं च ज्ञातव्यम्।
पूर्वे पोस्ट् मध्ये १६ सूत्राणां चर्चा कृता आसीत्, अधुना १३ उपसूत्राणां विषये चर्चां करिष्यामः.....

1. अनुकूलनम्

अर्थ : आनुपातिक / तदनुसार
Usage : संख्याओं का गुणन, संख्या का घन खोजना; सरल द्विघात समीकरण (simple quadratic eq.n) एवं सरल युगपत् समीकरण (simultaneous eq.n ) को हल करने में, एक संख्या को दो संख्याओं के वर्गों के योग या वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त करना।
उदाहरणम् : वयम् अत्र सङ्ख्यायाः घनस्य उदाहरणं दद्मः ।

12= 12^3= का घन


चरण1. वयं 12 सङ्ख्याः पश्यामः-- 1 तथा 2 इत्येतयोः अनुपातः 1:2 अस्ति ।
चरण 2. 1 --- 1^3 =1 का घन लिखिए
चरण 3. अधुना अङ्कानां अनुपातः 1:2* अस्ति अतः द्वितीये चरणे प्राप्तां संख्यां 2* इत्यनेन गुणयित्वा (त्रिवारं) लिखितं भविष्यति--- 1 2 4 8.

चरण 4. मध्यमद्वयं सङ्ख्यां द्विगुणं कृत्वा तेषां अधः लिखित्वा---2 तथा 4 मध्ये द्विवारं 4 तथा 8 भवति।


चरण 5. अधुना दक्षिणतः वामतः योजयितुं--- यदि अतिरिक्तं एकादशाधिकं अङ्कं भवति तर्हि तस्य वामभागे योजयितुं भवति, यथा 8+4=12 मध्ये 2 लिखितं भवति तथा च 2+ पार्श्वे 1 अस्ति ४+१ =७ कृतम् ।

*यदि यह अनुपात 2:5 (=1: 5/2) था तो पहले 2=2^3=8 का घन लिखकर फिर अन्य तीन के लिए 8 को 5/2 से गुणा करके=20, 20x 5/2= 50,50x लिखिए ५/२=१२५ इति । अग्रिमे पदे मध्यमस्य - -४० तथा १०० इत्यस्य द्विगुणीकरणेन अन्ते च तत् योजयित्वा २५ घनः भवति ।
२५^३ =


८\६०\१५०\१२५-- ८\६०\१५०+१२\५-- ८\६०\१६२\५-- ८\६०+१६\२\५-- ८\७६ तदतिरिक्तं दक्षिणतः वामतः \ २\५-- ८+७\६\२\५-- १५\६\२\५ ।

2. शिष्य संज्ञा : १.

हमने इस सूत्र का अर्थ एवं प्रयोग खोजने का प्रयास किया, भारती कृष्ण तीर्थजी महाराज के (प्रकाशित) कृति में इस सूत्र का अभाव है , its in Shrimad Bhagwat.लेखन के संकेत होते हैं।हम निरन्तर प्रयास करते हैं कि जिस पल को कुछ जानकारी मिलती है।


3. आद्यम् आद्येन् अन्त्यम् अन्त्येन्

भावार्थः- प्रथमेन प्रथमेन अन्तिमेन च अन्तिमेन।
प्रयोग : इस उपसूत्र का प्रयोग 'अनुरूपायण' तथा 'लोपनस्थापनाभय' उपसूत्रों के साथ किया जाता है इसके साहाय्य से द्विघात और द्विघात व्यञ्जन कारक हैं।


उदाहरण : 'क्रमपरिवर्तन' के साथ इसका प्रयोग-- एक द्विघात अभिव्यक्ति को कारक बनाना---Step1(step 1).--

इसके गुणनखण्डीकरण के लिए मध्य गुणांक अर्थात् 13 को दो भागों में विभाजित करें ताकि आरम्भ का गुणांक प्रारम्भ भाग के आनुपातिक हो तथा अंतिम भाग अंत के गुणांक के आनुपातिक हो। १३ भागद्वयम् अस्ति-- १८;-५. ३ - १८ - ५ - ३० - इति समानम् ;उभयम् अनुपातः समानः तर्हि----

Step 2. 3:18 (अथवा -5: -30) का सरलतम रूप है- 1:6 अतः (x + 6) प्रथम गुणनखण्ड होगा।
Step 3. 3x^2 को x एवं -30 को 6-- 3x एवं -5 से विभाजित करें, तो द्वितीय गुणनखण्ड (3x-5) है।
  अतः गुणनखण्डीकरण (x+6)(3x-5) है।



4. केवलैः सप्तकम् गुणायतः

अर्थ : यह सूत्र वस्तुतः एक संख्यात्मक कोड है, जो कहते हैं कि 7 के सन्दर्भ में गुणक 143 होगा।
प्रयोग: इस प्रकार अन्य संहिता हैं--1.'कलौ क्षुद्रसैः' तथा 2.'कन्से क्षमदःखलैर्मलैः'। तेषां उपयोगेन भिन्नानां दशमलवेषु परिवर्तनं भवति ।
उदाहरण:
 १/७ = अस्य कृते ९९९ x १४३=१४२८५७

एवं १/७=०.१४२८५७
 अस्मिन् संख्यायां १, २, ४, ५, ७, ८ आरोहणक्रमेण भवन्ति ।
1/7 का दशमलव विस्तार को उल्टा करते हुए, स्थान से बढ़ते हुए----2 - .

२/७=०.२८५७१४ ;३/७=०.४२८५७१--अस्य कृते ४ स्थानात् वृद्ध्या ।
४/७=०.५७१४२८ ; ५/७=०.७१४२८५; ६/७=०.८५७१४२ ।


5.वेस्तानम्

अर्थ : दोलन द्वारा
प्रयोग : दोलक दो प्रकार होते हैं - सकारात्मक एवं नकारात्मक। एतत् सूत्रं कस्यापि संख्यायाः विभाज्यतां परीक्षितुं प्रयुज्यते ।


उदाहरणम् : सकारात्मकविश्लेषकस्य उपयोगेन 5293240096 139 द्वारा विभाज्यम् अस्ति वा न वा इति जाँचयितुं।

* विश्लेषणं किम् ?-- यदि ५ विश्लेषकाः सन्ति तर्हि २८ इत्यस्य विश्लेषणं भविष्यति -- २+८x५=४२; १४ १+४x५=२१ भविष्यति; २१ २+१x५=७ भविष्यति ।

अधुना १३९ इत्यस्य गणितं भविष्यति -- १४
हम 5293240096 को 14.--- 529324009+6x14=529324093; ५२९३२४०९+३x१४=५२९३२४५१ ; ५२९३२४५+१x१४=५२९३२५९; ५२९३२५+९x१४=५२९४५१ ; ५२९४५+१x१४=५२९५९; ५२९५+९x१४=५४२१ ; ५४२+१x१४=५५६ ; ५५+६x१४=१३९ इति । अतः दी गई संख्या 139 द्वारा विभाज्य है (प्रत्येक विश्लेषण से प्राप्त संख्याएँ भी 139 द्वारा विभाज्य होंगी)।

6.यवदूनं तवदूनं

भावार्थः- यस्य अभावः अस्ति तस्य न्यूनीकरणं कुरुत।
प्रयोग: यह यवदुन* सूत्र के तुल्य है या दोनों समान हैं।इसका प्रयोग यवदूणम् के समान करनी चाहिए।--संख्या का घन खोजना, संख्या का द्विघात खोजना।

*16 स्रोतों की सूची देखें।

7.यवादूं तादूनिकृत्य वर्गं च योयोयेत्

अर्थ : आधार से संख्या को यथासंभव घटाएं, तथा उसी घटाव (अथवा विचलन) का वर्ग रखें।
प्रयोगः- एतत् उपसूत्रं सङ्ख्यायाः वर्गं ज्ञातुं प्रयुज्यते ।

उदाहरण : 91 =91^2= का वर्ग
 अत्र आधारः १०० अग्रे न्यूनीकरणे ९*, ९१-९=८२ न्यूनः भवति ।
अथ न्यूनीकरणवर्गः =९^२=८१ ।
एवं ९१^२=८२८१ ।

* यदि अभाव के स्थान पर आधार से अधिक था, तो अतिशय यातना अधिक करें।और अतिरेक वर्ग भी रखें।

जैसे -13=13^2= का वर्ग
  अत्र आधारः १० त्रयाणां गुणकः अस्ति, १३+३=१६ मध्ये एतावत् योजयित्वा ३ =३^२=९ वर्गं च योजयित्वा १३^२=१६९ ।

**अवधानं दातव्यम् - यदा आधारः १०० भवति तदा वर्गः व्यभिचारस्य द्वौ अङ्कौ भवेयुः, यदि न तर्हि तत् स्थापयित्वा ० लिखितव्यम्।तथा च यदा आधारः १० भवति तदा केवलं एकः अङ्कः भवेत् यदि एकादशाधिकः अङ्कः आगच्छति If अतः, प्रथमे दश अङ्कान् योजयन्तु । यदि आधारः 1000--त्रयः अङ्काः।

8.अन्त्योर्दशKP

भावार्थः- पूर्वाङ्काः समानाः सन्ति तथा अन्तिमाङ्कानां योगः अपि १०* भवति।
प्रयोगःअस्य सूत्रस्य कए गुणनार्थं, ५ इत्यनेन समाप्तसङ्ख्यानां वर्गाणां कृते च विशेषः उपयोगः अस्ति ।

उदाहरणम् :६४x६६=
अस्मिन् (ex) ६ उभयत्र अस्ति, ४+६=१० च भवति, अतः अत्र एतत् सूत्रं प्रवर्तते ।
पूर्वस्य बहुलं लिखत-- 6 का गुणनफल 7 भविष्यति।
६x७\४x६=४२\२४ इदं ६४x६६=४२२४ इव

७३x७७ =७x८\३x७ =५६\२१ =५६२१
१२२x१२८ =१२x१३\२x८ =१५६१६

*यदि अन्तिमसङ्ख्यायाः योगः १० न अपितु १००, वा १०००, वा १००..०.. वा भवति तर्हि एतत् सूत्रम् अद्यापि प्रवर्तते । पूर्वे च एकादशाधिकाः अङ्काः अपि समानाः भवितुम् अर्हन्ति(१२२x१२८)। यथा - ३९८x३०२= ३x४\९८x२=१२\१९६ =१२\०१९६ =१२०१९६।
*#उत्तरस्य दक्षिणभागे आधारे 0 इत्यस्य द्विगुणाः संख्याः सन्ति। आधारः १०--अङ्कः द्वौ;आधारः १००--अङ्कः ४;आधारः १०००--अङ्कः ६...... .

9. अन्त्योरेव

अर्थ: अन्तिम (स्वतन्त्र) पद से ही ;नित्य पद से ही।
प्रयोगः- विशिष्टप्रकारस्य समीकरणस्य समाधाने।

उदाहरण : अधोलिखिते अस्मिन् समीकरणे ------------------------------------------- -> इति

वामभागे नित्यपदं विहाय तर्हि 3x^2+5x तथा 5x^2+6x 3x+5 तथा 5x+6 के समान अनुपात में होते हैं।

एवं सति -------------------> इति सूत्रेणेतत् सूत्रम्


अतः 4x=12 या x=3। 


10. समुच्चयगुणाः : १.

 इदं सूत्रं 'गुणितस्थापनम्' इत्यस्मात् भिन्नं नास्ति इति भाति।

11.लोपनस्थापनाभ्याम्

अर्थ: (एकांतर से) लोपन और स्थापना द्वारा.
प्रयोग: कठिन द्विघाती व्यंजकों का गुणनखंडन करने में,व्यंजकों का HCF ज्ञात करने में,घन समीकरणों को हल करने में, और बहु युगपत समीकरणों को हल करने में.

उदाहरण:  कठिन द्विघाती व्यंजकों का गुणनखंडन----
इस व्यंजक को हल करने के लिए लोपन और स्थापन करना है (आद्यं.. सूत्र का भी प्रयोग है).

1.)पहले z का लोपन[z=0] और x , y का स्थापन------
 अब जो द्विघात व्यंजक प्राप्त हुआ उसका गुणनखंडन(आद्यं सूत्र से) करेंगे -->  (x+2y)(2x+3y)
 2.)फिर y का लोपन[y=0]और x ,z का स्थापन-------


 फिर से जो व्यंजक प्राप्त हुआ है उसका गुणनखंडन करेंगे- (x+3z)(2x+z)

(x+2y),(x+3z),(2x+3y),(2x+z) इनसे दो पद बनते हैं--
    (x+2y+3z) ; (2x+3y+z)
अतः हमारा गुणनखंड है : (x+2y+3z)(2x+3y+z)

**कभी कभी ये दो पद आसानी से नहीं बनते हैं तब तीनो का लोपन करना पड़ेगा.
उदाहरण : कठिन द्विघात अभिव्यक्तियों का गुणनखण्ड करना----
अस्य व्यञ्जनस्य समाधानार्थं घटनं प्रतिस्थापनं च कर्तव्यम् (प्राथमिक.. सूत्रम् अपि प्रयुक्तम्)।



**कदाचित् एतौ पदद्वयं सुलभतया न भवति, तदा त्रीणि अपि लोपनीयानि भविष्यन्ति।

12.विलोकनम्

अर्थ : अवलोकन करके
प्रयोग : सामान्य द्विघात समीकरणों का समाधान, एक साथ द्विघात समीकरणों का समाधान, विभाजन के संचालन में।
 उदाहरण : सामान्य द्विघात समता---- x+ 1/x= 17/4
     विलोकनम् सूत्रेण कथ्यते यत् x मनसि कृत्वा यथा 4 अत्र वयं 17/4 प्राप्नुमः, अतः x=4, अस्य कृते अधिकं किमपि कर्तव्यं नास्ति।

13. बहु सेट: बहु सेट्: 13.
भावार्थ : गुणांकों के गुणांकों के योग का गुणनफल गुणांकों के गुणांकों के योग के बराबर होता है।


** गुणकसमुच्चयस्य अपि स एव अर्थः लिखितः अस्ति।एतयोः सूत्रयोः भिन्नः प्रयोगः न दृश्यते, परन्तु उभयसूत्रौ समानौ वा तस्मिन् समुच्चयगुणकं गृह्णामः चेदपि तत् दोषं न भविष्यति। यदि भवान् किमपि त्रुटिं पश्यति तर्हि मां सूचयतु। वयं श्रेष्ठं श्रेष्ठं च कर्तुं प्रयत्नशीलाः स्मः।